rotate v:
被旋转的向量v：
by "rotation vector" r:
“旋转轴向量”r：
where angle θ=||r||
旋转角度θ即r的长度
旋转矩阵或者四元数都是“状态/瞬态转换”，你不知道正转反转、转了/要转多少圈，角速度是多少。四元数反求旋转轴与角度（《slerp》），接近0、旋转整周的时候也是有奇点的。qvq*的两面包夹芝士方法，虽然省点算力和空间，但不太易懂。
旋转轴+旋转角（Axis-Angle）的方法，维基有很多个，即使提到了R=exp(θK)《e的矩阵次方》，但K的内容总是要把旋转向量归一化成单位向量再转为“叉乘矩阵”，θ又是向量长度，又乘回去了。
而实际上直接用旋转向量在接近0的时候可以愉快地级数展开，不用单位化，即不需要除法更不用平方根，也就是只用θ²即可干活。
R=exp(θK)=I+sinθ·K+(1-cosθ)K² ←常见的公式是这么整的，然而你还可以：
R=exp([旋转向量r]×)=exp(《r不用单位化直接转为“叉乘矩阵”干脆就叫C罢》)=exp(C)=I+(sinθ/θ)C+((1-cosθ)/θ²)C²
↑=I+C/1!+C²/2!-tC/3!-tC²/4!+t²C/5!+t²C²/6!-t³C/7!-t³C²/8!+……
(t=r·r=||r||²=θ²=x²+y²+z², C=[0,-z,y
z,0,-x
-y,x,0], C²=[-y²-z²,xy,xz
xy,-x²-z²,yz
xz,yz,-x²-y²], C³=-tC)
然鹅如果角度（r长度）大了还是平方根再丢给sincos去对2π取模好点不然收敛太慢精度没了（建议手动从头限制旋转角范围，实践上要做到这一步多次计算还是缓存一个单位旋转轴（Versor）和旋转角度（除以π的，用时取小数后再乘π）比较好（至少不用对不明向量归一化（对我就是看他不爽（（（
好吧其实就是K=C/θ提取出来了（但在sin cos展开式中把除的θ算进去每项次数降低，就不用再除，干脆直接自己算展开式
数学爷爷们倒是早就搞清楚了，四元数分析，李代数，可除代数，Banach代数，但是本数学渣程序猿去钻通可能要掉几层皮（参见罗德里格斯（Rodrigues's rotation formula）公式（
（跟exp(纯虚四元数“矢量四元数”v)还是不太一样的，exp(xi+yj+zk)即exp(v)=cosθ+v*sinθ/θ=cosθ+“v的单位化”*sinθ其中θ=√(x²+y²+z²)，它表示单位向量在实轴和v（单位化）张成的二维平面上（在四维空间中）转圈圈，有实部也就是一般化的exp(q)依然是在此基础上放大缩小exp(实部)倍，总之跟常见教程里那个qvq*的q不是一个东西）
虽然降维回去光看复数exp(xi)在复平面转圈圈貌似效果一样（但复数时两者都是二维，升级后一个是三维旋转一个是四维旋转，仔细品味（真正一般化的四维旋转又是另一回事了，旋转本质是“在一个二维平面中保持相同距离运动”，对偶的那个“旋转轴”就不是一条直线，而是“另一个二维平面”了。
闲还可以去玩更野的七维旋转七维叉乘与八元数（
屁牌实(mei)用数学系列。更新日期：2023-11-12。随时可能更新。以WTFPL协议发布。